2denklemi tam say larda ˘c ozulemezk en, rasyonel say larda c ozulebilir olmas bir kazan˘c say lmal . Bahsi ge˘cen in˘salar kitapta sadece teknik duzeyde de gil, tarihsel geli˘sim Oysabir 'asal sayı'nın yalnızlığıydı benimkisi,Ya kendisini bölen,Yada sevdiğinden başkasına bölünmeyen.. Freud "Ne garip değil mi .. Bir insana vazgeçilmez olduğunu hissettirdiğinizde, ilk vazgeçeceği kişi siz olursunuz". Cemal Süreya. Gözlerinin kahvesinden koy ömrüme.. Kırk yılın hatrına Sen kalayim..! Nazım Hikmet Sporcularınçoğu örnek aldığı kişinin forma numarasını tercih ediyor. 10 numara efsanesi de Maradona'dan, Pele'den, Metin Oktay'dan 1Harflerin alfabetik sıralaması olmasaydı ne gibi sorunlarla karşılaşırdık?. 2 Bobinin devredeki etkileri nelerdir?. 3 Lütfü ne demektir?. 4 Yağmur dolu ve kar arasında ne gibi benzerlikler vardır?. 5 Wosvagen polo 98 classic motor gücü 73.5 yazıyor bu motor kaclik oluyor?. 6 Rusyanın meridyenleri ve paralelleri nelerdir?. 7 İkiden büyük her çift sayı iki asal sayının Bualgoritmanın güvenliği, çok büyük sayıları çarpımlarına ayırmanın zorluğuna dayanmaktadır. Ø Hem p’nin hem de q’nun asal olduğu p ve q seçilir. Ø Mod alınacak değer hesaplanır n = pq. Ø Euler's totient fonksiyonu uygulanır t = (p-1) (q-1). Ø T değeri ile en büyük ortak böleni 1 olan bir e değeri hesaplanır. Budurumda oluşabilen sistemik hata, bilgisayar hatasıdır. Çoğu insan, serseri bir kozmik ışının ufak bir fiske vurarak testin bileşik sayıyı asal sayı olarak kabul etmesine neden olacağını asla düşünmez. En nihayetinde, böyle bir olayın gerçekleşme olasılığı oldukça düşüktür: her ay yaklaşık 10-13. c39w9Yw. 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… sayıları birer asal sayıdır.=> En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı x ve y pozitif tamsayılar, z asal sayıdır. olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A 19 B 20 C 21 D 22 E 23ÇÖZÜM z nin asal sayı olması için x + 4 ve y – 2 çarpanlarının da 7 olması gerekir. z = 7 olması gerektiğinden. x + 4 = 7 y – 2 = 7 x = 3 y = 9 bulunur. O halde x + y + z = 3 + 9 + 7 = 19 olur. Doğru Seçenek AÖRNEK a, b ve c asal sayılardır. a = 17b – 5 . 5c – 1 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A 9 B 10 C 11 D 12 E 13ÇÖZÜM a nın asal sayı olması için b = 5, c = 2 değerleri verilirse, a = 170. 51 = 5 bulunur. O halde, a + b + c toplamı 5 + 2 + 5 = 12 dir. Doğru Seçenek D NOT 1 den başka pozitif ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, 9 ve 14 sayıları aralarında asaldır. 12, 21 ve 35 sayıları aralarında 1 ile bütün sayılar aralarında a + b ve 3a – b sayıları aralarında asaldır. olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A 24 B 30 C 35 D 42 E 56ÇÖZÜM kesrinde pay ile payda aralarında asal olduğundan eşitinin pay ve paydası da aralarında asal olmalıdır. O halde, Buna göre, = 42 elde edilir. Doğru Seçenek DÖRNEK a ve b sayıları aralarında asaldır. olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A 30 B 31 C 32 D 33 E 34ÇÖZÜM a ve b aralarında asal olduğundan, a = 23 ve b = 11 dir. Buna bilgi göre, a + b = 34 bulunur. Doğru Seçenek EÖRNEK 3a – b ile a . b aralarında asaldır. olduğuna göre, a nın alabileceği tamsayı değeri aşağıdakilerden hangisidir? A 7 B 8 C 9 D 10 E 11ÇÖZÜM Buna göre, a = 8 ve b = 5 olur. Doğru Seçenek BASAL ÇARPANLARA AYIRMAa, b ve c birbirinden farklı asal sayılar ve x, y ve z pozitif tamsayılar olsun. A sayısının, A = ax by cz şeklinde yazılmasına A sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçimi, bu biçime getirmek için yapılan işlemeasal çarpanlara ayırma işlemi 48 ve 84 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. Burada, 48 sayısının asal çarpanları 2 ve 3 tür. ÖRNEK a ve b pozitif tamsayılardır. 12 . a = b3 olduğuna göre, a nın en küçük değeri kaçtır? A 11 B 14 C 18 D 20 E 24ÇÖZÜM 12 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Buna göre, 12 = 22 ⋅3 olur. 22 ⋅3 ⋅a = b3 eşitliğinin bilgi sağlanması için a = 2⋅32 olmalıdır. Dolayısıyla 23 ⋅33 = b3 ve b3 = 63 elde edilir. Buna göre, a nın alacağı en küçük değer a = 2⋅32 = 18 ve b nin alacağı en küçük değer b = 6 bulunur. Doğru Seçenek CÖRNEK x ve y pozitif tamsayılardır. 288 ⋅ x = y4 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A 48 B 56 C 68 D 72 E 84ÇÖZÜM 288 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Doğru Seçenek ETAM BÖLEN SAYISIa, b ve c birbirinden farklı asal sayılar, x, y ve z pozitif tamsayılar olsun. Asal çarpanlarına ayrılmış A = ax ⋅ by ⋅ cz sayısı verilsin. A sayısının,=> Pozitif tam bölenlerinin sayısı x +1 y +1 z +1=> Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı negatif bölenlerinin sayısına eşittir.=> Tam bölenlerinin sayısı, 2x +1 y +1 z +1 720 sayısını inceleyelim. 720 = 24 . 32 . 5 şeklinde asal çarpanlara ayrılır. 720 = 24 . 32 . 5 sayısının,=> Pozitif tam bölenlerinin sayısı, 4 + 1 2 + 1 1 + 1 = 30 bulunur.=> Negatif bölen sayısı pozitif bölen sayısına eşit olduğundan 30 tanedir.=> Tam bölenlerinin sayısı, 2 4 + 1 2 + 1 1 + 1 = 60 bulunur.=> Asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı bulunmak istenirse 720 nin çarpanlarından sadece 2, 3 ve 5 sayıları asal olduğundan bilgi pozitif bölen sayısından 3 çıkarılır. 30 – 3 = 27 olur.=> Asal olmayan tam bölenlerinin sayısı, 720 nin tam bölenlerinin sayısından asal sayıların sayısı çıkarılır. 60 – 3 = 57 olur.=> Tam bölenlerinin toplamı her zaman sıfırdır.=> Asal olmayan tam bölenlerinin toplamı, asal sayıların toplamlarının negatif işaretlisidir. – 2 + 3 + 5 = –10 8! sayısının asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı kaçtır? A 96 B 95 C 94 D 93 E 92ÇÖZÜM Buna göre, 8! sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı, 7 +1 ⋅ 2 +1 ⋅ 1+1 ⋅ 1+1 = 96 bulunur. Asal bölenlerinin sayısı 4 olduğu için, 8! sayısının asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı 96 – 4 = 92 bulunur. Doğru Seçenek EÖRNEK a ve b tamsayıdır. olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A 8 B 10 C 16 D 20 E 24ÇÖZÜM a sayısını b nin aldığı değerler değiştirdiği için b nin kaç farklı değer alacağı bulunur. olduğuna göre, b sayısı 48 i bölen sayılar olmalıdır. Dolayısıyla 48 sayının tam bölenlerinin sayısı, b nin alacağı değerlerin sayısına eşittir. 48 = 24 . 3 olduğundan, 48 sayısının tam bölenlerinin sayısı, 2 4 + 1 1 + 1 = 20 olduğundan a sayısı 20 farklı değer alır. Doğru Seçenek D ÖRNEK 14x+1 sayısının 36 tane doğal sayı böleni olduğuna göre, x pozitif tamsayısı kaçtır? A 2 B 4 C 6 D 8 E 10ÇÖZÜM 14x+1 = 2x+1 . 7x+1 sayısının doğal sayı bölenlerinin sayısı, Doğru Seçenek BÖRNEK A = 1200…0 sayısının 252 tane tamsayı böleni olduğuna göre, A sayısı kaç basamaklıdır? A 7 B 8 C 9 D 10 E 11ÇÖZÜM Buna göre, A = olur. Dolayısıyla A sayısı 8 basamaklıdır. Doğru Seçenek BBÖLME İŞLEMİ A, B, C ve K pozitif tamsayı ve B ≠ 0 olsun. Yukarıdaki bölme işleminde,=> > A = + K yazılabilir.=> > K = 0 ise A sayısı B sayısına tam bölünür.=> > Bir bölme işleminde kalan daima pozitif ve bölen sayıdan küçüktür. 0 ≤ K > K 1 ve B > 13 şartlarının sağlanması için C = 5 değeri verilir. A = 3B + 13…….. 1 B = 3C + 1………. 2 2 denklemi 1 denkleminde yerine yazılırsa, A = 3 3C + 1 + 13 A = 9C + 16 olur. A nın en küçük değeri A = 9 5 + 16 = 61 bulunur. Doğru Seçenek DÖRNEK A sayısı 10 ile bölündüğünde bölüm B, kalan 4 ve B sayısı 18 ile bölündüğünde bölüm C, kalan 3 tür. Buna göre, A sayısının 30 ile bölümünden elde edilen bölüm ile kalanın toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A 6C + 15 B 6C + 24 C 6C + 4 D 6C + 5 E 6C + 7ÇÖZÜM A = 10B + 4…….. 1 B = 18C + 3…….. 2 2 denklemi, 1 de yerine yazılırsa, A = 10.18C + 3 + 4 = 180C + 34 bulunur. Bu ifade A = 306C + 1 + 4 şeklinde yazılabildiğine göre, A sayısının 30 ile bölümünden elde edilen bölüm 6C + 1 ve kalan 4 olur. Bölüm ile kalanın toplamı 6C + 5 bulunur. Doğru Seçenek DÖRNEK abc4 dört basamaklı, xy iki basamaklı bir sayıdır. Yukarıdaki bölme işlemine göre, xy sayısının alacağı değerler toplamı kaçtır? A 36 B 38 C 40 D 42 E 44ÇÖZÜM abc4 çift sayısı 16 çift sayısına bölünürse, kalan çift sayı olur. xy > A + B toplamının x ile bölümünden kalan a + b dir.=> > A . B çarpımının x ile bölümünden kalan a . b dir.=> > An sayısının x ile bölümünden kalan an bulunan a + b, a . b ve an kalanları x ten büyük ise x e tekrar bölünerek kalan Bir a sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, a2 + a sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır? A 5 B 6 C 7 D 8 E 9 15ÇÖZÜM a sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise a2 + a nın 10 ile bölümünden kalan 72 + 7 = 56 dır. 56 sayısı 10 dan büyük olduğu için 10 a bölünürse 6 kalanını verir. Doğru Seçenek AÖRNEK Bir x sayısının 7 ile bölümünden kalan 3 ve y sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, 3x – 5y ifadesinin 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A 2 B 3 C 4 D 5 E 6ÇÖZÜM x sayısının 7 ile bölümünden kalan 3 ve y sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, 3x – 5y sayısının 7 ile bölümünden kalan, 3 . 3 – 5 . 4 = – 11 bulunur. Kalan negatif sayı olamayacağından 7 ve 7 nin katları eklenerek pozitif hale getirilir. O halde kalan -11 + 14 = 3 olur. Doğru Seçenek BÖRNEK A doğal sayısının 18 ile bölümünden kalan 12 ve B sayısının 27 ile bölümünden kalan 23 olduğuna göre, A2 . B sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A 0 B 1 C 4 D 5 E 8ÇÖZÜM A = 18x + 12 = + 9 + 3 = 9.2x + 1 + 3 olduğundan A nın 9 ile bölümünden kalan 3 tür. B = 27y + 23 = + + 5 = 9.3y + 2 + 5 olduğundan B nin 9 ile bölümünden kalan 5 tir. nin 9 ile bölümünden kalan = 45 in 9 ile bölümünden kalana eşittir. 45 in 9 ile bölümünden kalan 0 dır. Doğru Seçenek ABÖLÜNEBİLME KURALLARI2 ile BölünebilmeÇift sayılar 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 8, 34, 670 sayıları 2 ile tam bölünür. 7, 53, 481 sayıları 2 ile bölündüğünde kalan 1 ile BölünebilmeRakamları toplamı 3 veya 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden elde edilen kalan, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden elde edilen kalana 84, 744 sayılarının rakamları toplamı 3 ün katı olduğundan 3 ile tam bölünür. 448 sayısının rakamları toplamı 16 olduğundan bu sayı 3 ile tam bölünemez. Kalanı bulmak için 16 nın 3 ile bölümünden kalanı bulmak yeterlidir. Dolayısıyla 448 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 Rakamları farklı dört basamaklı 2A84 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A 5 B 7 C 10 D 13 E 15ÇÖZÜM Sayının rakamları toplamı 3 ün katlarından 1 fazla olmalıdır. 2 + A + 8 + 4 = 3k + 1 ise 13 + A = 3k eşitliğinin sağlanması için A yerine 2, 5 ve 8 değerlerini yazabiliriz. 2A84 sayısının rakamları farklı olduğu için A = 5 olur. Doğru Seçenek sayısı, en az iki basamaklı pozitif bir tamsayı olsun. A sayısının son iki basamağının oluşturduğu iki basamaklı sayıya A sayısının sarkan’ ı 45835 in sarkanı 35, 27 nin sarkanı A sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için sarkanının 4 ün katı olması gerekir. Buna göre, bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için sarkanı aşağıdaki sayılardan birisi olmalıdır. Bu sayılar inceleme amaçlıdır. Ezberlemeyiniz. Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, sarkanının 4 ile bölümünden kalana Dört basamaklı A13B sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayı 3 ile bölümünden 2 kalanını verdiğine göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A 18 B 21 C 26 D 27 E 33ÇÖZÜM A13B sayısı, 4 ile tam bölünebildiğine göre, 3B sayısının 4 ün katı olması gerekir. Buna göre, B yerine 2 veya 6 yazılabilir. A132 ve A136 sayılarının 3 ile bölümünden kalan 2 veriliyor. A nın alabileceği değerler 1, 2, 4, 5, 7 ve 8 ve toplamları 27 dir. Doğru Seçenek D5 ile Bölünebilme Son rakamı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, son rakamının 5 ile bölümünden kalana Rakamları farklı üç basamaklı 8ab sayısı 5 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 4 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A 2 B 3 C 4 D 5 E 6ÇÖZÜM Sayının 5 ile tam bölünebilmesi için b nin 0 veya 5 olması gerekir. Sayının 4 e bölümünden 1 kalanını vermesi için b nin tek sayı olması gerekir. Buna göre, 8a5 sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, a rakamı 0, 2, 4, 6 ve 8 değerlerini alır. Sayının rakamları farklı olduğuna göre, a rakamı 8 olamaz. Dolayısıyla a nın alabileceği 4 farklı değer vardır. Doğru Seçenek C8 ile BölünebilmeBir sayının, üçlü sarkanı 000 veya 8 in katı ise sayı 8 ile tam bölünür. Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, üçlü sarkanının 8 ile bölümünden kalana Otuz iki basamaklı 333…3 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? A 3 B 4 C 5 D 6 E 7ÇÖZÜMBu sayının 8 ile bölümünden kalan üçlü sarkanı 333 sayısının 8 ile bölümünden kalana eşittir. 333 sayısı 8 ile bölünürse kalan 5 tir. Doğru Seçenek C9 ile BölünebilmeBir sayının rakamları toplamı 9 un katı ise bu sayı 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana Dört basamaklı 23ab sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, kaç farklı iki basamaklı ab sayısı yazılabilir? A 2 B 3 C 4 D 5 E 6ÇÖZÜM Sayının 4 ile tam bölünebilmesi için b nin 0, 2, 4, 6 veya 8 olması gerekir. Sayının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğundan, Buna göre, iki basamaklı ab sayısının alabileceği 3 farklı değer vardır. Doğru Seçenek B10 ile BölünebilmeSon rakamı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür. Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, sayının son ile BölünebilmeBir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için şu işlem yapılır. Sayının rakamları, birler basamağından başlanarak sırayla +1, -1, +1, -1, … ile çarpılır. Çarpma işleminden elde edilen değerler toplanır. Toplama işleminin sonucu, 0 veya 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. Toplama işleminin sonucu, pozitif bir sayı ise bu sayı 11 e bölünerek kalan elde edilir. Toplama işleminin sonucu, negatif bir sayı ise bu sayıya pozitif oluncaya kadar 11 eklenerek kalan 45387 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım. Sayının rakamlarını +1 ve -1 ile çarpalım. +4 + -5 + +3 + -8 + +7 = 1 Buna göre, 45387 sayısının 11 ile bölümünden kalan 1 5962 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım. Sayının rakamlarını +1 ve -1 ile çarpalım. -5 + +9 + -6 + +2 = 0 Buna göre, 45387 sayısı 11 ile tam 381 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım. Sayının rakamlarını +1 ve -1 ile çarpalım. +3 + -8 + +1 = -4 Buna göre, 45387 sayısının 11 ile bölümünden kalan -4 + 11 = 7 Beş basamaklı 3a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre, a kaçtır? A 3 B 4 C 5 D 6 E 7ÇÖZÜM Sayının rakamlarını +1 ve -1 ile çarpalım. Buna göre, a sayısı 3 bulunur. Doğru Seçenek ANOTAralarında asal çarpanların her birine tam bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına tam bölünür. Buna göre, 2 ve 3 ile tam bölünebilen bir sayı 6 ile tam sayının,=> > 12 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 4 ile=> > 15 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 5 ile=> > 18 ile tam bölünebilmesi için 2 ve 9 ile=> > 30 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 10 ile=> > 36 ile tam bölünebilmesi için 4 ve 9 ile=> > 45 ile tam bölünebilmesi için 5 ve 9 ile=> > ………….tam bölünebilmesi Beş basamaklı 5A12B sayısı 6 ile tam bölünebilen en büyük doğal sayı olduğuna göre, bu sayının 6 ile bölümünden elde edilen bölüm kaçtır? A 9854 B 9849 C 9834 D 9819 E 9794ÇÖZÜM Sayının 6 ile tam bölünebilmesi için 2 ve 3 ile tam bölünebilmesi gerekir. Sayının en büyük olması istendiğinden A = 9 alınarak işlem yapılmalıdır. 5912B sayısının 2 ile tam bölünmesi için B nin çift olması gerekir. 3 ile tam bölünmesi için rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır. Sayının çift olması için B = 4 olmalıdır. Dolayısıyla sayı 59124 tür. Bu sayının 6 ile bölümü 9854 bulunur. Doğru Seçenek AÖRNEK Rakamları farklı beş basamaklı 3A41B sayısı, 12 ile tam bölünebilen bir sayıdır. Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A 15 B 18 C 21 D 24 E 29ÇÖZÜM Sayının 12 ile bölünmesi için 3 ve 4 ile bölünmesi gerekir. 4 ile bölünmesi için B rakamı 2 veya 6 değerlerini alabilir. 3A412 ve 3A416 sayılarının 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır. Sayının rakamları farklı olduğundan A sayısı 1, 5, 7 ve 8 değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 21 dir. Doğru Seçenek C ÖRNEK Dört basamaklı 23AB sayısının 45 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, A + B toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır? A 17 B 18 C 19 D 20 E 21ÇÖZÜM Sayının 45 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, 5 ve 9 ile bölümünden de kalan 2 dir. 5 ile bölümünden kalan 2 ise B sayısı 2 ve 7 değerlerini alır. 23A2 ve 23A7 sayılarının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, bu sayıların rakamları toplamı 9 un katlarından 2 fazla olmalıdır. Buna göre, A + B toplamı 4 + 2 = 6 veya 8 + 7 = 15 olabilir. Bu değerlerin toplamı 21 bulunur. Doğru Seçenek E Asal Sayı nedir, nerelerde kullanılır? Asal Sayılar hangileridir, nasıl bulunur? Asal Sayılar listesi ve Asal Sayılar hakkında bilgi. Asal sayı nedir Sadece kendisine ve 1 sayısına bölünebilen 1’den büyük pozitif tam sayılara asal sayılar denir. Örnek 12 asal sayı değildir çünkü 1,2,3,4,6 ve 12 ye bölünür. 11 asal sayıdır çünkü sadece 1’e ve 11’e kendisine bölünür. 22 asal sayı değildir çünkü 1, 2, 11 ve 22’ye bölünür. 23 asal sayıdır çünkü sadece 1’e ve 23’e kendisine bölünür. Asal Sayılar hakkında bilgiler Öklid’den beri asal sayıların sonsuz olduğu kabul edilir. Asal sayılar hakkındaki pek çok soru günümüzde hâlâ cevaplanamamaktadır. Asırlardır asal sayılar üzerinde birçok teorem ortaya atılmış, asal sayıların bulunması için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmıştır. Fakat bunların hepsinin yanlış olduğu kanıtlanmıştır. Günümüzde asal sayıları veren bir matematik formülü bulunmamaktadır. Sayılar Teorisi’nin en önemli uğraşısı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır. Asal Sayılar Kümesi Asal sayılar 2 den başlayıp sonsuza kadar gider 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 … En küçük asal sayı 2 dir. 2’den başka çift asal sayı var mıdır İkiden başka çift Asal Sayı yoktur. Çift sayıların hepsi ikiye bölündüğünden Asal Sayı tanımına uymazlar. 2 neden Asal Sayıdır Sadece kendisine ve 1 sayısına bölünebilen pozitif tam sayılara asal sayılar denir. 2 rakamı sadece bire ve kendisine 2 ye bölündüğünden ve başka böleni olmadığından tanıma uymaktadır, bu yüzden de 2 asal sayıdır. 1 neden asal sayı değildir Asal sayıların iki pozitif tamsayı böleni olmalıdır. 1 sayısı sadece 1’e bölünebildiği için tek böleni vardır, bu nedenle asal sayı değildir. Asal Sayılar nasıl bulunur Öklid’den beri asal sayıların sonsuz olduğu kabul edilir. Asal sayıların hepsini bulmak mümkün değildir. Ortaokulda birden yüze kadar olan asal sayıları bilmek yeterlidir. Aşağıda birden yüze kadar olan asal sayıların nasıl bulunabileceği anlatılmıştır. Yandaki gibi bir yüzlük tablosu oluşturun. Birin üzerine çarpı atın. Sonra ikinin katlarının 4, 6, 8, 10 … üzerine sırayla çarpı atın. Daha sonra üçün katlarının 6, 9, 12, 15, … üzerine çarpı atın. Sonrada dördün, beşin , altının … katlarına çarpı atın. Bu işlem bitince geriye kalan çarpı atılmamış sayılar asal sayılardır. Eratosten Kalburu ile asal sayıların nasıl bulunduğu ile ilgili daha fazla bilgi almak için tıklayın best granite store 2021 ideas granite store. дезодорация запахов En küçük asal sayı kaçtır? En büyük asal sayı kaçtır? Aralarında asal sayılara örnek nelerdir? Asal sayılar ile ilgili tüm soru ve cevaplara haberimizden ulaşabilirsiniz. Bu yazıyı okuduğunuzda asal sayılarla ilgili tüm bilgileri öğreneceksiniz. Sadece 'a özel sizler için anlatıyoruz. Asal sayılar nelerdir? 1'den 100'e kadar olan asal sayılar kaçtır? Aralarında asal sayılar nedir? Asal sayılar konu anlatımı! Detaylar SAYI NEDİR?Asal sayı, sadece kendisine ve 1'e tam kalansız bölünebilen sayıdır. Örneğin 5 bir asal sayıdır çünkü sadece kendisine yani 5'e ve 1'e tam bölünebiliyor. Aynı şekilde 13 de bir asal sayıdır. Çünkü sadece 13 ve 1'e tam bölünebiliyor. Bu şekildeki sayılara asal sayı SAYILAR NELERDİR?Asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13... şeklinde 100 sayı içerisinde hangi sayılar asaldır onları yazalım 2357111317192329313741434753596167717379838997101Asal sayılar dediğimiz gibi sadece kendisine ve 1'e bölünebilen sayılardır. Örneğin 40 asal sayı değildir. Çünkü 4'e 5'e vb. sayılara da 100'E KADAR ASAL SAYILAR KAÇTIR?2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 1011'DEN 1000'E KADAR ASAL SAYILAR KAÇTIR?1'den 1000'e kadar olan tüm asal sayılar aşağıdaki gibidir. Daha doğrusu 1'den 1009 'a kadar 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009Asal sayılarEN KÜÇÜK ASAL SAYI KAÇTIR?En küçük asal sayı 2'dir. Normalde çift sayılar asal olmamaktadır. Fakat buna tek istisna 2 iki sayısıdır. 2 tek çift asal sayıdır ve en küçük asal sayıdır. Çünkü 2 sadece kendisine ve 1'e tam bölünebilir. Bu bakımdan asal olarak BÜYÜK ASAL SAYI KAÇTIR?En büyük asal sayı hakkında bazı bilim adamları araştırma yapmıştır. Prof. Dr. Curtis Cooper yaptığı uzun araştırmalar sonucunda en büyük asal sayıyı [2^74207281-1] [2 üzeri 74207281-1] yani 2 üstü 74207281-1 sayısı olarak önce en son 2013 yılında en büyük asal sayı 17 milyon basamaklı olarak bulunmuştu. Lakin şimdiki en uzun asal sayı 22 milyon bu asal sayının bir kağıda yazılması durumunda yaklaşık 109 kilometre kadar uzunlukta olacağını ASAL SAYI NEDİR?Eğer 2 tane sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bu iki sayı aralarında asal sayıdır. Örneğin 8 ve 15 aralarında asal sayılardır. Çünkü 1'den başka ortak böleni yoktur. Fakat 15 ve 21 aralarında asal değildir. Çünkü 3 sayısı ortak bölenleridir. Bunun gibi eğer iki sayının 1 rakamından başka ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asal olmaktadır. Şimdi örneklere olarak aralarında asal sayıların kendilerinin de asal sayı olmasına gerek yoktur. Yani diyelim ki 8 ve 15 i ele aldık. Bunlardan 8 asal değil ve 15 de asal değildir. Ama her ikisi birlikte aralarında asal olma özelliği asal sayılara örnekler - 4 ve 5 aralarında asaldır. Çünkü 1'den başka ortak böleni 8 ve 10 aralarında asal değildir. Çünkü her ikisi de 2'ye 25 ve 31 aralarında asal sayılardır. Çünkü 1'den başka ortak böleni şekilde örnekleri SAYISI ASAL MIDIR?Geçmiş zamanlarda 1 sayısını birçok matematikçi profesör ve bilim insanı asal olarak kabul ediyordu. Yani önceleri 1 sayısı asaldı. Fakat günümüzde 1 asal olarak kabul edilmemektedir. Bunun birçok nedeni vardır. Başlıca nedenlerinden birisi ise 1 sayısını eğer asal olarak kabul edersek bazı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekmektedir. Yani 1'i asal sayı aldığımızda bazı teoremlerin kuralları değişiyor denilmiştir. Bundan dolayı 1 asal sayı kabul edilmemektedir. En küçük asal sayı 2 kabul ediliyor. matematik Gündem Güncel Haberler Asal sayılar nedir? Bu, bize ilkokul yıllarında öğretilen gibi kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan sayılar demektir. Ama bu tanımın getirileri oldukça fazla ki…Asal sayılar nedir? Bu, bize ilkokul yıllarında öğretilen gibi kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan sayılar demektir. Ama bu tanımın getirileri oldukça fazla ki… Öncelikle asal sayıya neden ihtiyaç olmuştur? Bununla başlayalım. Asal sayılar Sayılar Teorisinde önemli bir yer kaplar çünkü aritmetiğin temel teoremi der ki “Her sayı ya asaldır ya da birkaç tane asal sayının çarpımından oluşur.” Bu teorem olmasa asal sayılar, sayılar teorisinde hemen her yerde karşımıza sayı fikri MÖ 400 civarına kadar dayanır. Meşhur Pisagor’un takipçilerinden olan “Fılolaos” bazı sayıların birleşik yani bölünebilir sayılar, bazılarınınsa bölünemez yani asal sayılar olduğu fikrini öne sürdü. Peki böyle bir fikir nasıl gelişti? Asal sayılar fikrini ayağa kaldıran şey Öklid’in Elements yani Elementler kitabı oldu. Öklid bu kitapta asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlamakla kalmayıp aritmetiğin temel teoremini ortaya attı ve Mersenne asallarından nasıl mükemmel sayı elde edileceğini gösterdi. Başka bir Yunan icatı olan Erostotenes Kalburu ise hala asal sayıları elde etmek için kullandığımız bir çağa doğru gelirsek, 1000 yıllarına doğru Wilson teoremi müslüman matematikçi İbn-i Heysem tarafından, 18. yüzyılda da John Wilson tarafından ortaya sürüldü. Aklınızdaki soru işaretlerini gidermek için kısaca teoremi açıklayayım Wilson Teoremi herhangi bir p asal sayısının p-1! + 1 sayısını tam böldüğünü söyler. Bu teoremi ayrı bir yazıda detaylı olarak ele bir müslüman matematikçi İbn-al Banna’- Marrakushi, bir sayının asal olup olmadığını keşfetmek için daha kısa bir yol önerdi. Bu kısa yol günlük yaşamımızda rahatlıkla kullanabileceğimiz çok pratik bir yol aslında. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için o sayının karekökünden küçük olan asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterli. Peki neden yeterli? Çünkü bir sayı asal değilse, o sayının karekökünden küçük-eşit olan en az 1 tane asal böleni vardır. Ama bu bilgiyi hemen kabul etmek yok! Bu yargıya doğru demeden önce bu yargıyı ki n doğal sayısı asal değil ve tüm asal sayı bölenleri karekökünden büyük. p ve q, n sayısını bölen iki asal sayı olsun. Bu durumda pq√n diyebiliriz. Şimdi de p ve q’nun √n sayısından büyük olduğunu kullanarak iki eşitsizlik yazalım. p>√n ve q>√n. Bu iki eşitsizliği çarparsak, pq>√n.√n = olarak elde ettiğimiz eşitsizliklere göre n ≥ pq > n → n > n eşitsizliğini elde etmiş oluyoruz ki bu da yanlıştır. Çünkü bir sayı kendisinden büyük olamaz. O halde bir n doğal sayısının en az 1 tane asal çarpanı karekökünden küçük-eşittir ifadesi biraz daha ilerlersek 1640'ta Pierre de Fermat, kanıtlamadığı küçük teoremini ileri sürdü. Fermat’ın küçük teoremi ilerleyen dönemde Leibniz ve Euler tarafından kanıtlandı. Fermat daha sonraki yıllarda Fermat sayılarının asallığı üzerine çalışmalar yaptı. Marin Mersenne ise Mersenne asalları üzerinde çalışmalar yaptı. Konusu açılmışken yine kafamızdaki soru işaretlerini gidermek için söyleyeyim Mersenne asalları 2^n-1 şeklindeki asal sayılardır ve bu sayının asal olması için n sayısının da asal olması gerekir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır ve 2⁵-1=31 de bir asal sayıdır. Tabi bu yargıyı da hemen doğru diye kabul etmemek gerekir ama Mersenne asallarına farklı bir yazı ayırmak en sayılarla ilgili bir sonraki gelişme ise henüz kanıtlanamayan ama çoğumuza sezgisel olarak doğru bir sanı olarak gelebilecek “Goldbach Sanısı”. Goldbach, 2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceği sezgisini 1742 yılında Eular’a gönderdiği bir mektubunda belirtmiştir. Örneğin 18 = 5+13 , 26 = 7+19 … Goldbach sanısının güçlü ve zayıf versiyonları var ama bunlar da ayrı bir yazının yüzyıla geldiğimizde ise karşımıza önemli gelişmelerden biri olan Drichlet İlkesi çıkıyor. Buna da kısaca değinmek gerekirse, a ve d aralarında asal olan iki pozitif tamsayı olduğunda ve n pozitif bir tamsayı olduğunda a+nd formunda yazılabilen sonsuz sayıda asal sayı olduğunu söyler. Bu ilkeyi anlamlandırabilmemiz için aralarında asal kavramını da açıklamamız gerekiyor. İki sayının aralarında asal olması demek o iki sayının 1 dışında ortak bir böleninin bulunmaması demektir. Örneğin, 12 ve 35. 12'nin asal çarpanları 2 ve 3 iken, 35'in asal çarpanları 5 ve 7 olduğundan bu iki sayının 1 dışında ortak bir böleni ya 1? Yunanlar en başta 1 sayısını sayı olarak değerlendirmiyorlardı dolayısıyla asallığına bakmak mantıksızdı. Ortaçağdaki müslüman matematikçiler 1'i sayı olarak görmemeye devam etti, sonrasında rönesansla birlikte 1 sayısıyı da matematikçiler tarafından sayı olarak kabul görmeye başladı fakat asal sayı olarak değerlendiriliyordu. Hatta 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach sanısını ortaya atarken 1 sayısını da asal sayı olarak görüyordu. Tabi 1 sayısının da asal sayılmaı bazı problemlere yol açtı, örneğin Erastotenes kalburunda 1 in katları olan tüm sayılar silindiğinde tek asal sayı 1 oluyordu. 20. yüzyılın başlarına doğru matematikçiler 1'i asal sayı olarak kabul etmemekte fikir birliğine vardılar ve tanımda yapılan değişiklik sonucu asal sayıların tanımı yazının başında yazdığım halini sayıların dünyasındaki okyanusların dibine kadar inmeyi sonraki yazılarımıza bırakalım. Asal sayıların sonsuzluğu, Wilson Teoremi, Erastotenes Kalburu, Fermat Teoremi, Mersenne Asalları, Fermat Sayıları, Goldbach Sanısı, Drichlet İlkesi ve daha bir sürü teorem, hipotez, sanı. Hiçbiri sizi korkutmasın. Asal sayıların gizemli ama büyüleyici dünyasını keşfettikçe matematiğin okulda anlatılandan farklı olan keyifli yanını fark Prime Numbers. Wikipedia. Web. Goldbach Conjecture. Art of Problem Solving. Web. Sieve of Eratosthenes. . Web. Kendisinden ve birden başka hiçbir tam sayıya bölünemeyen sayılara asal sayı deriz. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 asal sayılardır. Asal sayıların listesini çıkarmaya başladığınız zaman listedeki sayıların arasının genellikle açılmaya başladığını görürsünüz. Örneğin 1 ile 100 arasında yirmibeş asal sayı varken 100 ile 200 arasında yirmibir asal vardır. Daha büyük aralıklara bakarsak örneğin 1 ile 1 milyon arasında 78498 asal sayı varken 10 milyon ile 11 milyon arasında 61938 asal vardır. Buna bakarak asalların azaldığını ve giderek yok olacağını dü_şünebilirsiniz. Bu durumda doğal olarak en büyük asal sayı hangisidir, diye bir soru sorabilirsiniz. İşte 2000 yıl önce Öklid bu soruya çok şık bir cevap vermiştir. Öklid en büyük asal diye bir sayının olmadığını, asal sayılar listesinin sonsuz olduğunu iddia etmiştir. Bir an için Öklid asal sayılar listesinin sonlu olduğunu kabul eder. Buna göre p1 < p2 < … < pn elimizdeki bütün asallar olsun. Şimdi K = … pn + 1 sayısını düşünelim. Bu sayı elimizdeki asal sayılar listesindeki her asaldan farklıdır. Var olan tüm asallar bu listede olduğuna ve K sayısı bu listede olmadığına göre K sayısı asal değildir. Öyleyse elimizdeki listedeki asallardan en az biri tarafından bölünmeli. Oysa K sayısı bu asallardan hiç birine bölünmez. Örneğin K= 1 + p1 . p2 … pn şeklinde yazıldığı için p1 asalına böldüğümüz zaman 1 artar. Aynı nedenle diğer asallara da bölünmez. Bir çelişkiye vardık. Asal sayıların sonlu sayıda bulunduğunu varsayınca açık bir çeliş_ki elde ediyoruz. Demek ki asal sayılardan sonsuz tane var. Bu kadar bu duruma itiraz edebilirsiniz. Bu elde ettiimiz K sayısını da listeye ekleseydik çelişkiden kurtulur muyduk? Dikkat ederseniz çelişkiyi elde etmemizin nedeni K sayısının listede olup olmamasından çok listede yalnızca sonlu sayıda asal olmasıydı. Eer listede sonlu sayıda asal olmasaydı onları birbiriyle çarpıp 1 ekleyerek bir K sayısı elde edemez ve çelişki bulamazdık. Çelişki K sayısından değil, asalların listesinin sonlu varsayılmasından doğdu. Asal sayılarla oynamak büyük bir zevk kaynağıdır. Örneğin her n sayısıyla 2n sayısı arasında mutlaka bir asal olduğunu gösterebilir misiniz? Bu bilinen bir sonuçtur ama ispatı biraz çetrefillidir. Ya da üçten büyük her çift sayının iki asalın toplamı olarak yazılabileceğini gösterebilir misiniz? Bu Goldbach önermesi olarak tanınır ve hala doğru olup olmadığı bilinmemektedir. Ölümlü insanların bugüne kadar deneyebildikleri her çift sayı için önermenin doğru çıktıını söylemeye gerek yok… Ama ya henüz deneyemediğimiz büyüklükteki bir çift sayı için yanlışsa…

2 den başka neden çift asal sayı yoktur